Wie kann man eine möglichst griffige Formel für Pi finden? Eine erstaunlich einfache Idee entwickelt sich zu einer Reise durch komplexe Ebenen, Primzahlen und Symmetrien.
Pi ist überall. Das dachte sich wohl auch der damalige Jurist Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716), als er auf eine bemerkenswert einfache Formel stieß, die die Kreiszahl beschreibt. Tatsächlich veranlasste ihn unter anderem diese Formel, seinen Beruf an den Nagel zu hängen und sich fortan nur noch mit Mathematik zu beschäftigen. Ein Glück! Denn seine Forschung prägt bis heute bedeutende Teile des Fachs.
Aber zurück zu Pi, der Zahl, die auch viele Nicht-Mathematikerinnen und -Mathematiker immer wieder in ihren Bann zieht. Berechtigterweise, könnte man meinen, denn sie taucht an Orten auf, die auf den ersten Blick nichts mit Geometrie oder Kreisen zu tun haben: etwa beim Billardspiel oder in Fraktalen. In dieser Kolumne werden wir allerdings umgekehrt vorgehen. Wir suchen nach einer Formel, die Pi ausspuckt, und begeben uns dabei auf eine Reise, die durch unterschiedlichste mathematische Gebiete führt: vom Satz des Pythagoras über die Wurzeln negativer Zahlen hin zu Primzahlen. So wird deutlich, wie facettenreich Pi wirklich ist.
Wenn man den Zahlenwert von Pi abschätzen möchte, kann man zunächst einen Kreis auf ein kariertes Blatt malen. Die Anzahl der Knoten oder Gitterpunkte (also Punkte, an denen sich die Linien kreuzen) hängt mit dem Flächeninhalt des Kreises zusammen. Je größer der Kreis, desto mehr Punkte liegen in dessen
Innerem. Die Übereinstimmung wird natürlich umso genauer, je größer der Radius ist. Da der Flächeninhalt A eines Kreises von Pi abhängt (A = πr2 ), lässt sich die Kreiszahl durch die Anzahl der inneren Punkte ermitteln.
Und genau das wird unser Ziel sein: Wir suchen nach einer Möglichkeit, die Gitterpunkte innerhalb eines Kreises zu zählen, um anschließend daraus den Wert von Pi zu ermitteln. Was nach einem einfachen Plan klingt, wird sich jedoch als ganz schön knifflige Aufgabe erweisen.
Wie zählt man die Gitterpunkte innerhalb eines Kreises?
Als Ausgangspunkt zeichnet man den Kreis auf dem karierten Blatt so ein, dass der Mittelpunkt auf einem Knoten landet. Wie in der Schulgeometrie kann man sich ein kartesisches Koordinatensystem vorstellen, das im Mittelpunkt des Kreises seinen Ursprung hat. Zu jedem Knoten innerhalb des Kreises kann man von dort aus eine Linie ziehen, deren Länge l sich nach Pythagoras durch die x- und die y-Koordinate des Punkts berechnen lässt (x2 + y2 = l2 ), wobei l2 einer natürlichen Za
