Was hat die nicht enden wollende, irrationale Zahl Pi mit der harmlos anmutenden Zahl Fünf zu tun? Wie sich herausstellt, eine ganze Menge.
Haben Sie einen Taschenrechner griff bereit? Ein Browserfenster mit Google oder ein Smartphone tun es notfalls auch. Wählen Sie nun eine beliebige Anzahl an Fünfen, beispielsweise acht, und notieren Sie die Zahl: 55 555 555. Es mag unglaublich klingen, aber Sie sind jetzt nur noch zwei Klicks davon entfernt, dass Pi auf dem Rechner Ihrer Wahl erscheint. Dafür drücken Sie zunächst die Kehrwert-Taste, mit der man1 ⁄55 555 555 erhält. Dann ein zweiter Klick auf die Sinus-Taste, et voilà. Falls der Rechner auf das Winkelmaß »Grad« eingestellt war, erscheint jetzt folgendes Ergebnis: 3,1415927·10–10 .
Zugegeben, die letzte angezeigte Stelle sollte eigentlich sechs statt sieben lauten, doch man kann auch argumentieren, dass Google (das ich für die Berechnung genutzt habe) einfach gerundet hat. Dennoch: Es ist erstaunlich, dass vor der Zehnerpotenz eine Zahl auftaucht, die Pi verdächtig ähnelt. Tatsächlich kann man das
Spiel mit einer anderen Anzahl von Fünfen wiederholen – das Resultat wird stets nahe an Pi liegen. Wie kommt das zu Stande? Was hat Pi, die nicht enden wollende, irrationale Kreiszahl, mit der gewöhnlichen, fast schon langweiligen Fünf zu tun?
Wie Sie vielleicht schon bemerkt haben, funktioniert der nette Rechentrick nur dann, wenn der Rechner auf »Grad« und nicht auf »Radiant« eingestellt ist. Das heißt, das Argument der Sinusfunktion –in diesem Fall der Kehrwert der vielen Fünfen – wird im Winkelmaß aufgefasst. Und genau darin liegt der Knackpunkt, wie wir später sehen werden.
Wie unter teilt man einen Vollkreis?
Man ist recht frei darin, wie man einen Vollkreis einteilt. Am geläufigsten ist das Winkelmaß »Grad«, wobei ein Kreis 360 Grad umfasst. In der Geodäsie wird stattdessen »Gon« genutzt, 360 Grad entsprechen 400 Gon. Etwas bekannter als »Gon« dürfte das Bogenmaß sein: Die Einheit entspricht dem Winkel, der den Bogen mit Länge des Radius auf dem Kreis aufspannt. Der Vollkreis hat 2π Radiant, da 2π·r dem vollen Umfang entspricht.
Häufig ist es hilfreich, Berechnungen im Bogenmaß durchzuführen. Daher können wir untersuchen, was herauskommt, wenn man die Größen1 ⁄5 ,1 ⁄55 ,1 ⁄555 und so weiter in Radiant umrechnet. Da 360 Grad im Winkelmaß 2π im Bogenmaß entsprechen, muss man die Argumente der Sinusfunktion mitπ ⁄180 multiplizieren, um zum Bogenmaß überzugehen. Das heißt, wir sind an den Größen sin(1 ⁄555·π⁄ 180 ≈ 0,00003) interessiert
Leider sagt das erst einmal nichts über das Ergebnis aus – trigonometrische Funktionen von solch komplizierten Ausdrücken lassen sich kaum im Kopf berechnen. Daher müssen wir zuerst herausfinden, wie man die Sinusfunktion fü
