Das Collatz-Problem scheint so simpel, dass selbst Grundschüler ihm folgen können. Und doch sucht man seit 85 Jahren vergeblich einen Beweis. Erstaunlicherweise bringt die Aufgabe aber auch Pi hervor!
Als »absolut hoffnungslos« bezeichnete der große Mathematiker Paul Erdös (1913–1996) das Vorhaben, je eine Lösung für das Collatz-Problem zu finden. Dabei klingt das Problem in seinen Grundannahmen so einfach, dass selbst Grundschulkinder es verstehen. Es beginnt mit einer Folge, die man nach diesen Regeln aufbaut: Man nehme eine Zahl; ist sie gerade, teilt man sie durch zwei; ist sie ungerade, dann multipliziert man sie mit drei und addiert eins hinzu. Das wiederholt man immer wieder. Zum Beispiel kann man mit 19 starten und erhält: 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …Oder mit zwölf: 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, … Sobald die Folge bei der Eins landet, Das sich daraus ergebende Collatz-Problem, auch Collatz-Vermutung genannt, lautet: Jede natürliche Zahl, mit der man beginnt, landet irgendwann zwangsläufig bei der Eins. Demnach würde jede Zahlenfolge ein periodisches Ende nehmen. In den letzten Jahrzehnten haben etliche Fachleute und mathematikaffine Personen versucht, das vermeintlich einfachste Problem des Fachs zu lösen – allerdings vergeblich. Ich werde mich in dieser Kolumne jedoch nicht den gescheiterten Beweisideen widmen, sondern zeigen, dass auch in der Collatz-Vermutung die Kreiszahl Pi auftaucht! wird sie periodisch, das heißt sie wiederholt sich, denn gemäß der Rechenvorschrift folgt: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 und so weiter.
Syrakus oder Syracuse?
Pi tritt in den seltsamsten Umgebungen in Erscheinung, etwa beim Billard, in Fraktalen, im Spiel des Lebens und in unendlichen Summen. Und tatsächlich findet man die Kreiszahl auch im Collatz-Problem. Da es manchmal unter dem Namen Syracuse-Vermutung anzutreffen ist, liegt nun der Verdacht nahe, dass es vielleicht eine Verbindung zu Archimedes von Syrakus gibt. Denn Pi heißt auch Archimedes-Konstante, weil dieser erstmals einen Algorithmus entwarf, um die Ziffern von Pi zu berechnen. Doch Syrakus ist nicht das gesuchte Bindeglied zwischen Pi und der Collatz-Vermutung: Während sich »Syrakus« im Fall von Archimedes auf seinen Geburtsort auf Sizilien bezieht, hat »Syracuse« im Namen des mathematischen Problems einen völlig anderen Ursprung, der mit seinem Bekanntwerden zu tun hat.
Die Vermutung wird dem Mathematiker Lothar Collatz (1910–1990) zugeschrieben, der sich die Aufgabe 1937, zwei Jahre nach seiner Doktorarbeit, überlegt haben soll. Allerdings gibt es keine Aufzeichnungen davon. Auf dem internationalen Mathematikerkongress im Jahr 1950 soll er mit Stanisław Ulam und Shizuo Kakutani darüber gesprochen haben, die die Vermutung ebenfalls weiter verbreiteten. Zwei Jahre
