Eine Gravitationstheorie, die Differenzialrechnung und eine Theorie des Lichts – all das entwickelte Newton in nur einem Jahr. Was weniger bekannt ist: Er fand damals auch die bis dahin schnellste Methode, um Pi zu berechnen.
Es tut mir fast schon leid, dass ich es schon wieder sagen muss. Aber Pi scheint sich wirklich überall zu verstecken. Wer diese Kolumne verfolgt, hat den vorangegangenen Satz wahrscheinlich schon häufiger gelesen.
Aber es ist immer wieder erstaunlich, wo die Kreiszahl anzutreffen ist: Wir haben Pi schon in der Mandelbrotmenge entdeckt, in einem Haufen Streichhölzer, zwischen zwei Unendlichkeiten – und nun begegnen wir Pi in einem meiner liebsten mathematischen Konstrukte: dem pascalschen Dreieck.
Das pascalsche Dreieck ist Ihnen vielleicht noch aus der Schule bekannt. Es ist ein Dreieck, bestehend aus natürlichen Zahlen, das an der Spitze mit der 1 startet, worauf eine Zeile mit zwei Einsen folgt, die nächste Zeile enthält die drei Zahlen 1, 2, 1, danach kommen vier weitere Zahlen und so weiter. Das Dreieck setzt sich unendlich lange fort.
Mir gefällt vor allem die symmetrische Struktur: Die Zahlen in einer Reihe entsprechen der Summe der zwei darüber befindlichen Werte. Neben diesem recht offensichtlichen Muster birgt das pascalsche Dreieck aber eine Menge anderer faszinierender Eigenschaften, so lassen sich darin Fibonacci-Zahlen und Dreieckszahlen finden. Benannt ist das Zahlenmuster nach dem französischen Gelehrten Blaise Pascal, der es 1655 veröffentlichte, um damit Gewinnstrategien für Glücksspiele zu entwickeln. Allerdings folgt die Geschichte auch in diesem Fall Stiglers Gesetz, das besagt, dass keine wissenschaftliche Entdeckung nach ihrem tatsächlichen Entdecker benannt ist. So taucht das pascalsche Dreieck bereits in wesentlich älteren Schriften auf, etwa in der des persischen Mathematikers Abu Bakr al-Karadschi, der etwa 700 Jahre vor Pascal lebte.
Al-Karadschi hatte das Dreieck konstruiert, als er die Vorfaktoren von binomischen Gleichungen der Form (a + b) n für verschiedene n berechnete. In diesem Zu-
sammenhang ist Ihnen das pascalsche Dreieck wahrscheinlich auch in der Schule über den Weg gelaufen:
Das lässt sich für einen beliebig großen Exponenten n verallgemeinern:
wobei die so genannten Binomialkoeffizienten den Einträgen des pascalschen Dreiecks entsprechen. Diese Binomialkoeffizienten sind definiert als:
Zum Beispiel beträgt
Das entspricht dem Eintrag in der fünften Reihe und der zweiten Spalte des pascalschen Dreiecks (die ersten Reihen und Spalten des Dreiecks werden mit null beziffert).
Newton wagt etwas Neues
Auch Sir Isaac Newton interessierte sich offenbar für das pascalsche Dreieck. Zwischen den Jahren 1665 und 1666 musst
