Kolumne
Wer denkt, Pi habe nur mit Kreisen zu tun, liegt falsch. Die Zahl begegnet uns auch beim Billard – und sie versteckt sich in Fraktalen wie der Mandelbrotmenge. Genauer gesagt: sie lauert im Hintern des Apfelmännchens.
DIE FABELHAFTE WELT DER MATHEMATIK
Die Mandelbrotmenge ist das wohl berühmteste Fraktal der Mathematik. Wie passend, dass sich ausgerechnet die bekannteste irrationale Zahl des Fachs darin versteckt! Das zu erkennen, ist allerdings gar nicht so einfach. Die Mathematikerin Holly Krieger von der University of Cambridge bezeichnete die Mandelbrotmenge als die »vielleicht ineffizienteste Art und Weise, Pi zu berechnen.«
Das Apfelmännchen besticht durch seine Ästhetik: Wie bei allen Fraktalen kann man in einen Ausschnitt hineinzoomen, wobei sich unter verbesserter Auflösung die gleichen Muster offenbaren wie zuvor. Die Details nehmen kein Ende, man kann die Teile beliebig weiter vergrößern und findet stets dieselben Strukturen vor. Seit Jahrhunderten faszinieren Fraktale daher nicht nur die Fachwelt, sondern auch Menschen, die mit Mathe eigentlich wenig anfangen können.
Ein unendliches Muster
Doch wie kommt die Mandelbrotmenge überhaupt zu Stande? Formal ist sie über eine rekursive Gleichung definiert. Dabei handelt es sich um eine Funktion, die man für einen gewissen Startwert berechnet und deren Ergebnis man dann wieder in die Formel einsetzt – und dieser Vorgang wird immer wieder wiederholt. Für die Mandelbrotmenge lautet die Gleichung folgendermaßen:zn+1 = zn n 2 + c, mit dem Startwert z0 0 = 0. Wenn c also etwa den Wert 2 hat, dann ist z0 0 = 0 (wie in der Definition vorgegeben), z1 1 = z2 0 + 2 = 2, z2 2 = z2 1 + 2 = 6 und so wei-ter. Wie man leicht sieht, entsteht eine Folge, die schnell immer weiter anwächst.
Wählt man hingegen einen kleinen c-Wert wie ¼, sind die Werte der rekursiven Gleichung beschränkt: z0 = 0, z1 = ¼, zn =
1 ⁄16 + ¼ =5 ⁄16 , z3 =25 ⁄256 + ¼, …Die Werte zn werden dabei niemals ½ überschreiten. Ebenso kann man negative Zahlen für c einsetzen, wodurch ebenfalls beschränkte Folgen entstehen, das heißt, die Werte steigen niemals ins Unermessliche – unabhängig davon, wie häufig man sie wieder in die Funktion einsetzt. Das führt zur Definition der Mandelbrotmenge: Sie enthält alle Punkte c, die zu beschränkten Folgen führen. Demnach ist c = ¼ sowie c = –¾ in der Menge enthalten, aber c = 2 nicht.
Ausflug in die komplexe Zahlenebene
Die Mandelbrotmenge wäre jedoch ziemlich langweilig, wenn man sich auf die reellen Zahlen beschränken würde, denn dann bestünde sie bloß aus einer Linie. Mathematiker berücksichtigen daher auch imaginäre Zahlen, die Wurzeln aus negativen Zahlen. Wenn man diese quadriert, ergibt sich ein negativer Wert –was bei der Funktionsvorschrift für die Mandelbrotmenge s
